离散化
离散化是一种将无限空间中的有限个体映射到有限空间中的方法，常用于处理数据范围很大但实际数据量较小的问题。
离散化的核心思想是将大范围的数据映射到小范围，同时保持数据之间的相对关系。通常用于处理以下情况：
- 数据范围很大（如 \(-2^{31}\) 到
\(2^{31}\)）
- 实际数据点较少
- 需要处理区间或线段
场景举例：
差分专题中的区间改变问题，如果区间是 \([(1,
3353), (534543, 231876390), (3353, 5667)]\)
这样的大范围，没法开数组到这么大规模做差分标记，但区间的数量不会太多，比如\(10000\) 个区间，那就至多 \(20000\) 个坐标点（区间起止会提供 \(2\)
个坐标，以及有一些起止点可能重叠）。
离散化处理
- 把 \((1, 3353, 534543, 231876390, 3353,
5667)\) 平铺排开
- 排序：\((1, 3353, 3353, 5667, 534543,
231876390)\)
- 去重：\((1, 3353, 5667, 534543,
231876390)\) （去掉了一个重复的 \(3353\)）
- 用序号代替： \(([0]=1,[1]=3353,[2]=5667,[3]=534543,[4]=231876390)\)
- 区间系列 \([(1, 3353), (534543,
231876390), (3353, 5667)]\) 改变为序号 \([(0, 1), (3, 4), (1, 2)]\)
- 序号范围显然是坐标点个数以内的，用序号代替原坐标点，就可以开数组做差分或其它区间操作了
- 最后处理数据时，用序号查询原始数值，做进一步处理
例：区间合并
给定 \(n\) 个区间 \([a_i, b_i)\)，求所有区间覆盖的总长度。
第一行一个整数 \(n\)，表示区间数量
接下来 \(n\) 行，每行两个整数
\(a_i,
b_i\)，表示一个区间的起点和终点（左闭右开）
\(1 \leq n \leq 2 \times
10^4\)
\(-2^{31} \leq a < b <
2^{31}\)
答案小于 \(2^{31}\)
输出一行一个整数，表示所有区间覆盖的总长度
输入：
输出
- 将所有区间的端点收集并排序
- 去重得到离散化后的值
- 使用差分数组或扫描线算法计算覆盖长度
参考代码，顺便提供一个离散化参考通用模板
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| #include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<unordered_map>
#include<algorithm>
const int maxn = 2e4 + 10;
template<typename TP_V>
struct Discretization {
std::vector<TP_V> b;
std::unordered_map<TP_V, int> mp;
void Init(){b.clear(); mp.clear();}
Discretization(){Init();}
Discretization(std::vector<TP_V> &a){Make(a);}
void Make(std::vector<TP_V> &a) {
Init();
Add(a);
}
void Add(std::vector<TP_V> &a) {
for(auto i : a) b.push_back(i);
std::sort(b.begin(), b.end());
b.erase(std::unique(b.begin(), b.end()), b.end());
for(int i = 0; i < b.size(); i ++) mp[b[i]] = i;
}
unsigned size() {
return b.size();
}
TP_V &operator[](int ith){return b[ith];}
int Loc(TP_V x) {return mp.count(x) ? mp[x] : -1;}
};
int fd[maxn << 1];
int a[maxn << 1];
int main() {
int n, s, e;
std::vector<int> a;
Discretization<int> d;
memset(fd, 0, sizeof(fd));
scanf("%d", &n);
for(int i = 0; i < n; i ++) {
scanf("%d%d", &s, &e);
a.push_back(s);
a.push_back(e);
}
d.Make(a);
for(int i = 0; i < n; i ++) {
int s = a[i << 1], e = a[i << 1 | 1];
fd[d.Loc(s)] ++;
fd[d.Loc(e)] --;
}
int ans = 0;
for(int i = 0; i < d.size() - 1; i ++) {
fd[i] += i == 0 ? 0 : fd[i - 1];
ans += (fd[i] > 0)* (d[i + 1] - d[i]);
}
printf("%d\n", ans);
}
|
例：过度种植
在笛卡尔平面坐标系中，有 \(N\)
(\(1 \leq N \leq 1000\)) 个矩形，第
\(i\) 个矩形的左上角坐标是 \((x_1,y_1)\)，右下角坐标是 \((x_2,y_2)\)。求这 \(N\)
个矩形所覆盖的总面积（被重复覆盖的区域只计算一次）。
第一行，一个整数 \(N\) (\(1 \leq N \leq 1000\))
接下来 \(N\) 行，每行四个整数
\(x_1,y_1,x_2,y_2\) (\(-10^8 \leq x_1,y_1,x_2,y_2 \leq
10^8\))
输出一个整数，表示被覆盖的总面积
输入
输出
解题思路：
- 这是一个二维离散化问题，需要对 \(x\) 和 \(y\) 坐标分别进行离散化
- 使用二维差分记录每个小矩形的覆盖情况
- 统计被覆盖的小矩形的面积总和
参考代码：
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| #include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
template<typename TP_V>
struct Discretization {
std::vector<TP_V> b;
std::unordered_map<TP_V, int> mp;
void Init(){b.clear(); mp.clear();}
Discretization(){Init();}
Discretization(std::vector<TP_V> &a){Make(a);}
void Make(std::vector<TP_V> &a) {
Init();
Add(a);
}
void Add(std::vector<TP_V> &a) {
for(auto i : a) b.push_back(i);
std::sort(b.begin(), b.end());
b.erase(std::unique(b.begin(), b.end()), b.end());
for(int i = 0; i < b.size(); i ++) mp[b[i]] = i;
}
unsigned size() {
return b.size();
}
TP_V &operator[](int ith){return b[ith];}
int Loc(TP_V x) {return mp.count(x) ? mp[x] : -1;}
};
struct Rectangle {
int x1, y1, x2, y2;
};
int main() {
int n;
scanf("%d", &n);
std::vector<Rectangle> rects(n);
std::vector<int> x_coords, y_coords;
for(int i = 0; i < n; i++) {
scanf("%d%d%d%d", &rects[i].x1, &rects[i].y1, &rects[i].x2, &rects[i].y2);
x_coords.push_back(rects[i].x1);
x_coords.push_back(rects[i].x2);
y_coords.push_back(rects[i].y1);
y_coords.push_back(rects[i].y2);
}
Discretization<int> dx(x_coords), dy(y_coords);
std::vector<std::vector<int>> diff(dx.size(), std::vector<int>(dy.size(), 0));
for(int i = 0; i < n; i++) {
int loc_x1 = dx.Loc(rects[i].x1);
int loc_y1 = dy.Loc(rects[i].y1);
int loc_x2 = dx.Loc(rects[i].x2);
int loc_y2 = dy.Loc(rects[i].y2);
std::swap(loc_y1, loc_y2);
diff[loc_x1][loc_y1] ++;
diff[loc_x2][loc_y1] --;
diff[loc_x1][loc_y2] --;
diff[loc_x2][loc_y2] ++;
}
long long ans = 0;
for(int i = 0; i < dx.size() - 1; i++) {
for(int j = 0; j < dy.size() - 1; j++) {
if(j > 0) diff[i][j] += diff[i][j-1];
}
}
for(int i = 0; i < dx.size() - 1; i++) {
for(int j = 0; j < dy.size() - 1; j++) {
if(i > 0) diff[i][j] += diff[i-1][j];
}
}
for(int i = 0; i < dx.size() - 1; i++) {
for(int j = 0; j < dy.size() - 1; j++) {
ans += 1LL * (diff[i][j] > 0) * (dx[i+1] - dx[i]) * (dy[j+1] - dy[j]);
}
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
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